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咕咕！！~~~ 发表于 2008-6-30 14:44

完全数之迷 (zt)

完全数之迷
最初的4个完全数
7y\(C,dU&S
正如毕达哥拉斯及其学派所认为的那样，数本身就是美的。数学的整个领域都是及其浪漫的，无处不充满了高维度的纯美。而完全数就是这美的代表(有没有人反对？) 完全数(perfect number),又称完美数，完满数，指的是具有如下特性的数：即该数所有真约数(除了该数本身之外的约数)之和为    E#x9i/g1[0A Y
该数本身。多么简单的特性，只需一行字便可以表述。然而在简洁的背后，却有着丰富的内涵与无穷的吸引力。(事实上，就如同费马大定理一样，简洁的表述与困难的解法正是衡量一个数学问题魅力的标准。)举例来说：6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14。如果你有兴趣，可以验证496与8,128是接下来的两个次小的完全数。古希腊人就知道这么多，虽然他们为没能看到一个奇数完全数而遗憾。不过，富于想象力的希腊人还是从这几个数中看到了一些有趣的东西。比如它们分别为1位，2，3，4位数，而且尾数是6或8, 交替出现。于是他们推测（美丽的起步): 第n个完全数将是n位数，而且尾数是 X+kFD;S
6或8，并江交替出现。个人而言，我对古希腊人充满了景仰。爱琴海湛蓝的海水竟能孕育出苏，柏，亚等照耀全世界文明的哲人，与旷世唯一的欧几里德，和那许多动人的人神传说。我曾不止一次地幻想头顶一个水罐，象个奴隶(文明的奴隶)般地倘佯在雅典的街头...    g;Jj[Hgp.t
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古希腊人的猜测 BUZr1d
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上回书说到古希腊人对完全数的两个猜测，而且表面上颇有令人心动的号召力，但遗憾的是，随着人们发现了更多的完全数，这两个猜测也不攻自破了。第五个完全数是33，550，336，是个8位数(而不是5位)。接下去的三个完全数分别为：8,589,869,056(10); 137,438,691,328(12);'~wl;@)bx;G
2,305,843,008,139,952,128(19). 可以看到，完全数的位数在迅速增多，希腊人的猜测显然偏离了方向。事实上，第30个完全数赫然是个13万位的庞然大物。而假设之二也不成立，因为第5，6个完全数的尾数都是6，并非以6，8交替出现。但是，虽然时至今日，科学家们已经知道了30个完全数，其尾数仍然没能突破6或8的模式。这一次，古希腊人猜对了吗？谁知道呢？(斑竹评述:现在已经发现了38个完全数)

完全数之迷之欧几里德的公式 b2H!c.RTl)kr
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提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了这样一个公式：
2n-1(2n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得吧，他无愧于一切的赞美！)更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既2n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2n-1=2047=23*89.而欧几里得则证明了，一旦2n-1为素数，该公式将导出一个完全数。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数！非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数完全数是否是无穷的？2n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在奇数完全数？虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。    VJv0r,F#z,dH

完全数之迷之奇数完全数

花开两朵，各表一枝。这回先讲讲奇数完全数的故事。(因为关于奇数完全数的资料只搞到一点，一次灌完算了)简单地讲，奇数完全数之所以吸引人，只是因为至今人民还不曾找到一个。然而就如同夸克的故事一样，至今也没有一个人敢壮着胆子说一声：“这玩意儿根本就不存在！”欧几里德给出了能导出所有偶数完全数的公式(虽然他还没来得及指明在何种条件下，该公式必能导出一个偶数完全数)。不过人们一直还没有求得一个奇数完全数。敏感好奇的科学家们孜孜以求，所得也只不过是一些周边的限制条件(不过这些限制条件看起来很令人吃惊)。总地来说，如果确实存在奇数完全数的话，它至少要满足以下条件：1。至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300,000。次大的也要大于1,000.2。若它不能被3整除，它至少应被11个素数整除。3。它是12k+1的形式。4。它是36k+9的形式。另外还有人借助计算机证明了，在1050之下不存在奇数完全数。而据说这个下限正渐渐地被往上推。记得几个月前，我似乎在哪儿又看到了有关的最新消息，可惜，我忘记了。恐怕有人不禁要问一声:"老兄，到底奇数完全数存不存在？" 问地好！但这就是游戏规则。你不能证明他对，并不意味着你能说他错。当你忘不了一个人的时候，爱上他吧！当你找不到奇数完全数的时候，忘了他吧！    #dICZo!P9M
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完全数之迷之梅森素数 ;p,X5z5iyC{M
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在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc. 今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2^n-1的素数. 读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦? 这不是欧几里德公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，213-1,217-1和219-1这三个梅森数都是素数，他还断言，267-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于<<阿基米德的报复>>一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:"一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算267.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927. 他仍一语不发地移道黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721*761,838,257,287.两次计算结果相同。梅森的猜想--假如确曾如此的话--就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向他提任何问题.

完全数的特点：
1、每个完全数都可以用从1开始的连续奇数个正整数的和来表示
如 n n9W(Y%k*}lM{
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+6+7+n1h)c(J].AT3}b
496=1+2+3+……+312@BaQ sq `
……1vi6l+C9bK-on

2、除6之外，所有完全数都可以用从1开始的连续奇数的立方和来表示
如gu`;?z&By}\t
28=1^3+3^3B,t WjR$o*aZ
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+7^3+……+15^30gm#U2{2g4IFx)n
……Q+Va0vtUl_

3、一个完全数的所有约数的倒数之和等于2
如
6的约数的倒数：1/1+1/2+1/3+1/6=2
28的约数的倒数：1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
496的约数的倒数：1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2;o,c:_}0d t(K9?
……

奇完全数猜想6Dz$^.GQX,fg2Y F

令人不解的是，直到目前为止，人们所知道的完全数都是偶数，且都是形如2^(p-1)Mp.谁也未发现过奇完全数，但是没有人能证明它不存在，奇完全数的研究主要集中在两个方面：+~D@'L&|J
（1）奇完全数所含有的不同素因子个数的问题.0O^!o5tpgB
最先取得这方面成果的是特凯尼诺夫（A.Turcaninov），他在1908年证明了奇完全数至少含有四个不同素因子，
并由此推出奇完全数不小于200万。现在，最好的结果是，不能被3整除的奇完全数至少含有11个不同的素因子。
（2）奇完全数的下界问题&e5`m0P+wcMY
现在已经证明，如果奇完全数存在，则它必大于10^200。人们猜想奇完全数是不存在的，如果存在那一定是大的
出奇的数，无疑会引起全世界的轰动。 6e2DWeP!A&e7I(]
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亲和数猜想
&_)[ qT8SQa
与完全数有关的是亲和数。如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。毕达哥拉斯首先发现220与284就是一对亲和数，2000多年后，费尔马才发现了另一对亲和数：17296和18416。法国另外一位数学家笛卡尔发现了当时最大的一对亲和数：9363548，9437056。十八世纪的欧拉找到了三对亲和数：2620与2924，5020与5564，6232与6348。100多年后的1866年，意大利少年尼克劳.帕格尼尼发现了欧拉错过的更小的一对亲和数：1184与1210。 H.qK r4v
亲和数的研究主要有两方面：VJ M.m W Wk
（1）寻找新的亲和数。.b#|/^} xF
（2）寻找亲和数的表达公式。
关于后一项工作，早在9世纪，阿拉伯的学者泰比特（Tabitibn Qorra）就提出了一个构造亲和数的公式：如果三个数：p=3*2^(n-1)-1,q=3*2^n-1,r=9*2^(2n-1)-1都是素数，且p,q>2,则2^npq和2^nr就是一对亲和数。例如，取n=2,得p=5,q=11,r=71,则2^2*5*11=220和2^2*71=284是一对亲和数。Z4Zp~ukX
到欧拉为止，人们研究的都是偶亲和数，欧拉是第一位系统研究奇亲和数的数学家。他给出了构造亲和数的一些方法，并证明奇亲和数是存在的。例如：a=3^2*5*7*13*17=69615 和 b=3^2*7*13*107=87633 就是一对奇亲和数。 R?IB?Vnb(c_
现在人们已经知道几千对奇的，偶的亲和数了。
人们还发现每一对奇亲和数中都有3，5，7作为素因数。1968年波尔.布拉得利（P.Bratley）和约翰.迈凯（J.Mckay）提出：所有奇亲和数都是能够被3整除的。1988年巴蒂亚托(S.Battiato）和博霍（W.Borho）利用电子计算机找到了不能被3整除的奇亲和数，从而推翻了布拉得利的猜想。他找到了15对都不能被3整除的奇亲和数，最小的一对是：a=s*140453*85857199 和 b=s*56099*214955207 其中s=5^4*7^3*11^3*13^2*17^2*19*61^2*97*107.将各个因数乘起来a=353804384422460183965044607821130625和b=353808169683169683168273495496273894069375.Z]0Q-I}UI?
它们都是36位大数。作为一个未解决的问题，巴蒂亚托等希望有人能找到最小的。另一个问题是是否存在一对奇亲和数中有一个数不能被3整除。x Q6Y"r+W*M6O3u Zx
还有一个欧拉提出的问题，是否存在一对亲和数，其中有一个奇数，另一个是偶数？因为现在发现的所有奇偶亲和数要么都是偶数，要么都是奇数。200多年来尚未解决。'E.qC4b#o`
"?h0j;e ukYKKz
福琼猜想(Y7Vy8aDI.io

设p1,p2,p3,...pn是前n个素数，按照欧几里的的证明素数有无穷多的方法，取：En=p1p2...pn+1,也可取en=p1p2...pn-1,那么
En,en本身就可能是素数，这样的素数能有多少个？是否有无穷多？直到1995年4月，人们在pn<35000范围内，共发现了18个这样的pn：2，3，5，7，11，31，379，1019，1021，2657，3229，4547，4787，11549，13649，18523，23801，24029，使得En为素数。发现17个pn:3,5,11,41,89,317,337,991,1873,2053,2377,4093,4297,4583,6569,13033,15877,使得en为素数。
随着pn的增大，对应的En和en都迅速增大，例如对应pn=24029的En=2*3*5*7*...*24029+1,它是一个10387位数，高速电子计算机花费了4天的时间才确定是素数。而pn=15877对应的en=2*3*5*7*...15877-1是6845位数，计算机耗时近两天才确定它是素数。
设p是大于En的最小素数，福琼（R.F.Fortune）猜想：“Fn=p-En+1对于任意自然数n都是素数”。例如：)kMb$S]AiG
E1=2+1=3,p=5,F1=5-3+1=3;3O8P8hw;UZa
E2=2*3+1=7,p=11,F2=11-7+1=5#\4Pix@(f Z
E3=2*3*5+1=31,p=37,F3=37-31+1=7*_1tM6},w
E4=2*3*5*7+1=211,p=223,F4=223-211+1=139ju\9]Phc]
E5=2*3*5*7*11+1=2311,p=2333,F5=2333-2311+1=23jR4d~IMW
E6=2*3*5*7*11*13+1=30031,p=30047,F6=30047-30031+1=17
...... k;vqk.j Q(_z
接下来的n=7,8,9,...21时对应的Fn=19,23,37,61,67,61,71,107,59,61,109,89,103,79. hn_;QOQ
人们普遍认为福琼猜想是正确的，但是在短期内无法确定。受欧几里的证明的启发，后人又用Nn=n!+1或Mn=n!-1也一样能证明素数无穷多的论断。在n<4580范围内，人们发现了17个n值：1，2，3，11，27，37，41，73，77，116，154，320，340，399，427，872，1477，使Nn是素数。发现20个n值：3,4,6,7,12,14,30,32,33,38,94,166,324,379,469,546,974,1963,3507,3610使得Mn为素数。@1r0lY:j*}
那么，形如Nn=n!+1,Mn=n!-1的素数是否有无穷多个？这是人们关心的另一个问题。
u&fw'i7i.c
回归数猜想 n+Q1y,O MDN8i|
eMv2F3cqX0a
英国大数学家哈代(G.H.Hardy,1877-1947)曾经发现过一种有趣的现象: :?RD6H @R

   153=13+53+33 371=33+73+13 370=33+73+03 407=43+03+73_6~\g2Bg
4|g(u]k ~1}Q*{
他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数:

  1634=14+64+34+44  54748=55+45+75+45+85 548834=56+46+86+86+36+46

像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?ZoT)m7l;_`
  1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(Anthony Diluna)巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.d+Xg)d!qNt
  设 An 是这样的回归数,即:P"pXp-n"oR:\8d

An=a1a2a3...an=a1n+a2n+...+ann  (其中 0<=a1,a2,...an<=9)

从而  10n-1<=An<=n9n  即 n 必须满足 n9n>10n-1  也就是  (10/9)n<10n    ⑴
Y~I!q^
随着自然数 n 的不断增大,(10/9)n 值的增加越来越快,很快就会使得 ⑴ 式不成立,因此,满足⑴的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:Tf~8e!mx\%uA

(10/9)60=556.4798...<10*60=600       (10/9)61=618.3109...>10*61=610

对于 n>=61,便有  (10/9)n>10nnv? T2^+P}5Bk

由此可知,使⑴式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:

一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9
二位回归数:不存在TJ*}6G%~6O
三位回归数:153,370,371,407"p+ek~5o%w;Qj4y
四位回归数:1634,8208,9474[Q|"`ZW9N^R4I](zK
五位回归数:54748,92727,93084I \*Kx,d.{6DF$k
六位回归数:548834
七位回归数:1741725,4210818,9800817ZY3@;UC@&{
八位回归数:24678050,24678051z#K7n#LHz T@]
但是此后对于哪一个自然数 n (<=60)还有回归数?对于已经给定的 n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?

xuet 发表于 2008-6-30 17:55

数字总是很神秘的BBBhkDt
数学更是

yzxjy 发表于 2008-7-1 05:03

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这个世界充满了神秘

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