今天先放我找到的资料,恳请同考sub math的朋友一道帮忙!/ C) P' `: E2 Q6 b& g5 b
2 ~' E' d) l e, _4 m7 ]3 ~为准备Math Sub今天在网上大肆搜刮资料,在西祠胡同上偶遇一篇绝好文章分七部分写成,
$ n# i( b# i6 C4 i; M! P2 Y4 e4 l现整理为一整篇发到版上,希望对所有考数学Sub的战友有所帮助!
$ _9 c4 z4 V% n5 v7 [6 m
]- f* W& Z( H4 X4 u* k9 _" ^By NESTA-2
* B4 m& j3 S% @( q' O$ l. A
4 X# o3 y7 B9 o今天下午开始看手上的cracking the gre math test，从今天开始按照自己的进度简单介& H N# [! L+ P Q, ?
绍这本书的内容
1 Q% Z% Q) r0 X7 _8 f% Y0 E0 n2 M" k" R' I5 t
一 Precalculus
& E6 i5 `1 |9 z6 m. L# q+ p
3 R& g) ?1 y7 _/ K/ h* \函数：函数的概念，函数的复合，反函数，函数的图像: K0 M9 P8 K" b6 c, L* X8 M* \
, |; e' t& C, ]/ E! i
解析几何：直线，抛物线，圆，椭圆，双曲线，这些平面图形的几何性质和代数方程4 c1 T% {6 h" X9 H7 }3 a2 l
3 e- e# M# A& ~. M6 N3 {多项式方程：多项式的带余除法，代数基本定理，多项式的根的性质（包括有理根与系数
2 y+ |$ i) x5 T2 T% e1 f; r. H的关系，有理系数多项式共轭无理根成对出现和实系数多项式共轭复根成对出现），多项
' z5 Q$ J, Y& C0 w1 t3 c, k式根的和与积和系数的关系' {* e D9 \% l8 L) O: v- t1 b
5 l* i+ s6 M* O4 p4 C. ?. s对数：指数函数的反函数，运算性质8 i4 A, ^1 \# r* E' g
% q0 Y% y* H+ S q1 q2 _" R& ^$ e三角：三角函数的概念，和差化积公式，周期性，反三角函数+ [- K% ^0 W0 Y8 f) B' _+ ?
2 P8 Z! h, q& k8 \6 I& H
都是些高中的基本内容，有的确实不太熟悉了，复习一下也好，这节后有25个题目，高中, f0 o+ T) D# _% y/ ?- p
习题难度，就不说了，晚上准备看完第二节（caculusⅠ），明天继续写报告
: D. T: S0 b! w; L9 @8 ^
/ P+ E$ g* h" f9 Q# p人在杭州，陪老婆参加了微软和浙大主办的“21世纪的计算”学术研讨会，报告嘉宾都不认! W: p" L& a1 _) O2 L( s
识，有CMU的CS系主任Jeannette M.Wing，turing奖的Ronald L.Rivest，UCLA的一个计算9 v" y6 n0 }& c2 ?% ^, i `
数学的院士Stanley Osher（好像满熟的名字），一个计算机图形学大牛，还有一帮微软
( {* u6 k q* M% ]0 l的家伙。为此复习计划顺延一天。
1 X1 P' `5 w- m" d$ A' d& L H
" E# g U7 `/ Y
( V) b0 }) l! i$ [4 Q' D/ g2 w4 r! h- \$ c
二 Calculus Ⅰ
7 @, K& i! x" K" r2 W/ [
+ n$ A! p3 P; A4 e* l+ a6 ~+ ]1 F今天看了Caculus Ⅰ，感觉都是最最基本的内容，我还没大规模的接触题目，不过我感觉
4 e5 ^3 A+ [# m' G! m书上的这些东西恐怕不够，这周先把书看完，下周做题目的时候再看有些什么知识和技巧
3 @' G# M/ E8 \' a, j* m可以补充，下面是书上的内容：
8 x2 R; U. X2 A6 M- Z; O; U1 n ]( f3 P, V8 `- o) k
序列的极限：序列极限的定义，性质（夹逼定理或者叫sandwich theorem）; J& D* {& h4 A- K/ I9 t U8 k
3 H4 X' v5 V& p! J3 k! D! e
函数的极限：左极限，右极限，极限的性质，x趋于无穷时函数的极限
! s1 \3 E5 J% B1 N& M5 z _3 ` ?7 ], S6 M$ |, n
连续函数：连续函数的定义和简单性质，闭区间上连续函数的极值定理，中值定理$ h2 b: I1 @, K9 f9 h: h- j/ L3 r
& t( R$ J) n8 i4 `3 V) A3 e
导数：导熟的定义和几何意义，左导数右导数，求导数的一些基本法则（连锁法则和反函% _) P& A" z( }% z! t S) {; E
数求导法则），常用函数的导数，用微分来近似，隐函数的微分，高阶导数7 c3 J; u; N1 z2 u! a, K
3 h+ l! M# y ?& w/ ]2 v9 D曲线的勾画：用一阶导数和二阶导数的零点勾画曲线，用各阶导数来确定是否是极值点! t: h8 ~4 s3 @* t! l
9 x; H& G8 O+ R1 Z8 F关于可微函数的定理：微分中值定理
6 `9 q% q9 r, |- p0 o
$ G: S5 _2 R5 b5 _5 G极值问题：用一二阶导数$ P/ J4 h# L& V9 p8 j4 l3 F
5 I0 v; V1 M0 E. u) krelated rates：就是应用微分来求一些东西的变化率9 v M* i& R4 S& p
9 U, n3 A' N: M3 A不定积分（反微分）：不定积分的定义，积分技术：变量代换（利用微分的连锁法则的1 B$ T6 a( v/ X
逆），分部积分（利用乘积的积分公式的逆），三角代换（用来消除二次项开根号的那种4 ]' T- M' [% J5 f2 u
东西），有理分式的万能积分方法（这里只有一个很简单的例子，实际上应该首先有一个
. c/ Q1 }2 H0 Q定理保证标准分解的存在性，然后还有一套完整的确定系数的方法）& R% v/ P0 V. r0 `
& C( t. }! w! g; c _& r
定积分：Riemann积分的定义（这里同样只有一个简单的例子，没有严格定义，这样很直8 j* j, @: m. l8 o# a$ t
观，不过严密的定义虽然吓人，却有助于完整的理解概念）! V n! a& b* f2 r0 \8 `# a
+ F% w/ U v$ P2 Q: E- h微积分基本定理：也就是著名的定积分与不定积分的关系（也是Newton和Leibniz争夺的
- H3 P0 z5 r2 U. E3 I9 g; s3 O2 G东西），定积分的一些简单性质，函数的平均值（就是积分中值定理，记得以前还有什么; P& r) L3 y9 J* E2 U
积分第一第二中值定理，这里都没提，我也不记得具体内容了，应该都是自然的结论，我" K2 f+ |! T& m( a
也懒得翻书了，以后碰到了再查吧），曲线围成的面积（定积分的一个直接应用，就是对
9 R' @; w8 C0 V) X4 a曲线函数之差积分）
2 J: ~3 E# ?7 `; p: x4 @7 F5 J g$ `7 k1 z: P
极坐标：对于一些带有旋转性质的曲线，用极坐标表示会带来便利。极坐标一样可以积分
3 D# }+ u* W4 H7 c求面积，不过由于微元是扇形，所以和直角坐标里的积分求面积略有不同/ M/ o( l! V0 K( y% H
5 y0 e5 D( }# C2 j3 ?- O% k7 X; M旋转体的体积：对截面（圆或者环）面积积分6 e* {6 {: k! j+ X4 l
3 l- B2 D* v0 h弧长：弧长的积分方法: u& K) ]# e* I+ C+ D; K# R
. c" B6 `. E& k2 S# Y9 Z自然指数和对数函数：自然指数底e的由来，e的极限表示2 a3 X( {2 {. p- P# \: j; X
( I1 `3 v; e+ d: d洛必达法则：强力的处理不定型极限的工具，会用就行，不要求证明，这里八卦一下，洛
" C) h. O5 F. W必达法则是某个Bernoulli研究出来的，不过当时Bernoulli被有钱人洛必达雇佣，把自己
. W9 O' U1 [+ M" e1 w0 M/ N0 f的小成果供给洛必达发表，所以得名
% T1 p: k& F; d4 A5 {4 u# x/ }, B. x2 K
反常积分：两类反常积分，一类是积分限无穷，一类是在某点函数值无穷，方法都是求出2 D% t! K# d8 x7 J
不定积分，再求函数极限9 s3 W6 \) S6 o& e/ Q2 `# }
/ q' A( J3 C' M" _
无穷级数：无穷级数收敛的判别法：比较判别，比例判别，根式判别，积分判别。交错级
0 F' I& A4 p& ^4 R6 }数判别法，条件收敛和绝对收敛。这里不得不补充了，其实级数收敛的内容非常丰富，至( z, K7 N6 m# |$ f) @& l y
少还有Dirichlet判别和Abel判别，还有绝对收敛和条件收敛的一些有趣定理以及级数的; O/ n! ]5 o: e8 T+ H
乘法，书上都没有，不能详述了0 m9 R1 s% H" R* y$ b5 K
& b) b2 W7 p. N/ S; o( g( u
幂级数：幂级数的收敛半径（用比例判别法求得），幂级数定义的函数（在收敛半径内连+ U* W# J5 @. G# Y+ j+ _& ]% ^7 V- n
续，可微，可积，并可逐项微分积分），泰勒级数（这里需要补充一点（可能是老生常谈: F/ o/ G4 g$ v! G; c) y f2 ]
了）从泰勒级数的求法可知一个函数的幂级数展开的唯一性，所以求幂级数展开时，不必6 y8 N6 _: Q& a' {$ R) P
有任何拘泥，讲究不择手段，只要能折腾出一个幂级数，那肯定就是它了，实在不行，还" ]) T v* a' |% f
求泰勒系数也不怕），泰勒多项式（这里提到了cauchy余项用来估计误差）。
! F) D- q0 b% x1 h! k0 i# b9 ]
7 n8 z! N$ w% I/ z/ ]
0 L* r" Y/ `3 G- L8 }5 S0 u \+ w# v
三 Calculus Ⅱ
, |" ^9 X! m( d3 o/ D5 d; I2 `( {1 c) y/ b
R3中的解析几何（回顾）：点积、差积、混合积（代数表达和几何意义），R3中的直线平1 A, ~$ R; a: F% g- r4 e
面、柱面、旋转面，等值线和等值面，柱坐标、球坐标$ G4 w# l! h: J& h4 H
0 o) K) j& ?4 i" y, U' j: ?
偏导数：定义和几何解释，高阶偏导数（这本书没有提混合导数交换次序的条件，它默认 T+ J+ v: o6 w, ~ r
我们面对的函数都是足够阶连续可微的，也就是说那些保证混合导数可交换次序的定理这: b: U1 e- y% [3 y1 _
本书认为不考），曲面的切平面，线性近似（应用切平面的近似算一些具体的东西），偏1 l# ?6 P- F; P3 } ]8 o! q
导数的连锁法则
$ y" b8 ~7 h7 p* z. v0 g- D$ _ v& G) i4 P+ U) j
方向导数和梯度：一个数量场的方向导数可以通过这个数量场的梯度（一个向量场）来计
, ?/ i: P1 F! l. y; u1 }) [; B+ D算，这里说到一个新的观点来计算曲面的切平面，就是把曲面看成一个数量场的等值面，
% d4 i7 d( g' N4 I那么在等值面上某点的梯度一定和该点的切平面正交，这虽然是个新观点，但计算的内容, T. y3 e8 T+ Z" X9 q7 m) l9 s
和以前的方法实际上是差不多的。
. @7 W% O y& i. H/ U, T1 I) E( q9 S, ~
极值问题：把单变量的情形推广到两个变量，关键点就是两个一阶偏导都为零，是极值点
% g& a% e" |0 D# F还是鞍点，就看二阶偏导的Jacobi行列式，带限制的极值问题（书上给了两个方法，直接, k/ ~9 o6 B8 o E: A, B- |
按单变量的极值问题处理，或者所谓的Lagrange乘数法）
5 W W0 X. F8 Q0 Z% V
: Y. J1 I: }# G2 \ ~# K线积分：关于弧长的线积分（就是线积分的计算方法和几何意义），向量场的线积分（这
3 S; k. n6 _/ K `& f4 ~. x8 n: e( e) j里的微元不是弧长，是切向量，书上给了两个例子引出路径相关问题），线积分的微积分5 H, R2 C/ Y1 D8 ^4 z/ i3 F
基本定理（就是微积分基本定理的推广，用梯度对比导数，定义保守场，梯度场的必要条$ b4 U+ ~% X! ?& \2 t9 U `' {
件，闭路径的积分）% X" }- U( _2 e8 c& i6 s) e& b
, z7 r; e: ]) h# {1 }7 y二重积分：二重积分的定义和几何性质，这里提到要适当选择积分顺序以便于计算，极坐
& e: F- _/ n- {$ h9 P, U6 a K1 m/ k标中的二重积分（注意这里的微元有所区别，是rdrdθ）
# G) O% L" z. K0 M- w8 L
0 G- k- ^! D" @; _% q; z xGreen定理：Green公式，联系了线积分和二重积分，可以利用Green公式相互转化，达到
+ W6 ~5 a0 U! m# S I) j( u方便计算的目的，最后给出路径无关、梯度场、和闭路积分为0的等价条件
3 c. J) [) [# C" ~2 P5 A9 n% v9 F5 I2 E
' ]( H0 t( _6 J6 [- A( G: U7 h N& O" F8 k" `
四 Differential Equations
" d5 ~6 D8 A+ d, K8 J1 [7 u
: c* L1 V k3 J1 N+ v+ c5 z9 C/ U8 U这一节书上主要说的是常微分方程，常微分方程的定性理论十分的丰富，不少专著专门讨
/ N9 }9 U$ M7 J; t! Z R) b! X论定性理论，而math sub对定性理论不怎么要求，书上只讲了一些标准的解法，这部分题: ^6 E, @: \. T2 p, U
目比较灵活，需要在熟练掌握解法的同时对微分方程的分析和几何意义有一定的认识
0 i/ v! |6 m: q) `; w* N3 M
. O. S" J7 O. C4 r概念：解集族，积分曲线，初值问题（IVP），等等
' p' f* z( }; D4 o) E
- V1 p4 |: \! V2 X9 ?7 I- D; U可分方程：变量分离的方程，对两边积分就可以了9 H% c' x( c1 ^5 ]+ M
) y1 K: `% z( k齐次方程：y=xv代换可化为可分方程( Y$ I" `8 h) c1 d' [( A# J
; U- p& [/ x* ^( v \; }% F恰当方程：也就是说正好是一个全微分，恰当方程的判别也很简单. u/ ^( v- F, J4 I# U9 Q* ]" L
# N/ Y$ l D7 ~' p o+ `
非恰当方程和积分因子：积分因子的用处，有定理保证方程有解则积分因子存在，不过找
* H( y' o, v5 A起来并不容易，这里给出了在一种特殊情况下找积分因子的方法（每本书上都会说的那个）! r# B) \, |& k& A
, I% T; T" v' y7 |) C ^一阶线性方程：是上述特殊情况下找积分因子的一个特例，以至于可以推出一个公式来
8 `$ c2 s; X8 Y' \- |$ R c2 G% }0 B' v5 W$ B* C* K+ [
常系数的高阶线性方程：这里讲的是二阶，直接给了公式，公式并不难记，题目里还出现
4 b$ b, X! p/ N$ O6 N/ z了三阶的，记一下公式就好了8 x1 C; a, k- L
5 O/ F3 E% q+ c* W+ H, ]8 s
. V& e* P- L: E$ p1 X$ C2 T
* W0 u; ?: p) y& h* _五 Linear Algebra
2 b6 W' R" d8 i( T1 D' f- P4 I4 K. e# n/ p
这一节讲的内容并不多，不知道做题够不够，比如二次型、文字矩阵、若当标准型都没有- |* x0 M; k) c! v
讲，最好还是拿一本高等代数系统的复习一遍。
. ?5 L- Y0 @% e2 T4 m" Z
( V( T4 k5 g' ^: A一开始用对线性方程组的研究引出线性代数的内容$ Q# G# C3 ^+ u9 Z
; ?/ E9 L, t* H* c1 }
矩阵和矩阵代数：基本概念，运算，单位矩阵和逆矩阵
; W- p. O) \( b; N
" P( l# Z7 M8 g3 F高斯消去：增广矩阵，线性方程组的解法
7 x& D% F/ B# N6 U. |
7 z" Y) C7 @; P2 H! y3 m" n用逆矩阵解矩阵方程
1 d7 d, T0 M* X6 X) I2 I' V0 X* d5 \6 D( {% G
向量空间：定义，零度，线性组合（span，线性无关，维数，基），秩，列空间行空间，
6 J7 l1 P6 w# b& E其它向量空间: ]- ~: p" q* G, {" M! p3 J' W6 y5 j
3 h+ @3 x" Z) l% X0 E6 O行列式：定义，性质，Laplace展开，伴随矩阵，Cramer法则 [. x) d; f7 o) {" T6 M4 |
/ `7 u4 T8 `& c, ]5 B% n# M
线性变换：标准矩阵表示，秩加零度定理（对比群的同态定理）5 z Z4 l2 B8 i
# y. O8 B+ @8 M' {4 s特征值和特征向量：迹（等于特征值的和，所以证明了迹在相似变换下的不变性），特征空间
+ I0 A. e' w9 W. u5 `
$ _* k) o/ y6 E! t. N) _Cayley-Hamilton Theorem：就是矩阵满足自己的特征多项式
4 d) ]% p* o: @5 }2 J0 y( J% _4 V% t
5 k* F. f" ]$ b# X$ N5 B, ]
) r5 _8 Q _- E2 j/ j9 P, b六 Number Theory and Abstract Algebra
+ T. _6 T* b+ d; H! ^0 [) K1 h N: X% R
math sub注重群论，而这部分内容强调证明，这本书主张记住结论并且会用，不要求推导过程
6 l7 n! J( t- F
$ U+ P, X5 k) @PART A：数论& q2 n: n, D+ A* @1 D6 n* z5 ?8 }
+ F% O9 M* T! M& o整除：除了小学的东西，这里讲到著名的素数定理，算术基本定理，还讲了丢潘图5 t6 W7 S: e( `
（Diophantine）方程（只分析了线性的）' ]/ ]: x3 z% s9 O
8 _8 Y" v6 m+ d# h, `5 X9 \0 ~6 Z同余：一些简单结论，Fermat小定理（用模p域的概念很容易证明）
- ~+ I0 q, o, }- r' D8 a
+ [5 v4 c1 S4 Y3 |2 o& ?同余方程
, Z. J2 I# A7 n+ Y- m1 t% r; | J- g+ Z2 }9 v1 Z5 l
PART B：抽象代数( D& P. L8 r$ `7 }4 o; T) `7 K
- c6 X. V: b1 E! S, @
群的定义：给了很多例子，循环群（循环群肯定是abel的，反之不然，最简单的例子讲到7 Z+ L$ V0 x! D, N7 a
了Klein四元群、又叫viegrappe、V4）
2 F, `/ O; a. F7 D9 n+ \( k/ C6 l- @3 X1 S
子群：中心化子，循环子群（元素的阶），有限生成（简单的群表示的概念），关于子群# g9 d) l$ A1 p$ v
的一些定理（Lagrange定理，Langrange定理的逆在abel的条件下也成立，更一般的有
S& \& B/ O! Z# O5 y6 F4 B3 Q. ACauchy定理，再更一般有Sylow第一定理）" f6 v. w* {5 L1 r' a, ]5 Z
6 O' M( R0 z4 F0 h0 j/ Y" i同构的概念% G4 T. N, A9 J8 Q
6 \& \! a. K/ Q3 f3 ^' I
有限abel群的分类：群的直和，结论1 I& ~6 b. f3 s( y0 ?
) a: p/ z: v% Q群同态：monomorphism，epimorphism，endomorphism，automorphism，kernel，群同态% @/ n, }0 D; ^
的简单性质，这里的例子比较丰富，有GL、SL，正规子群，自同构（Aut）和内自同构（Inn）5 x) K, ?4 ^3 Z+ w: H- e L
/ ~% @; l/ l2 T0 E) L f
环：环的特征（乘法单位元的加法阶），例子里讲到了Guass整数环，多项式环，幂零元
Q ^& ~1 `/ e6 Z7 I5 I* U' M2 C) J5 c$ J' L
环同态：性质（和群同态相似），例子很丰富，有特征为素数的环的Frobenius自同态，理想
7 j( M4 L( Q" ?8 o; U7 [+ h8 E% x% @( a8 j; k" V/ v
整环（Integral Domain）：零因子* n5 v% p, S/ c n+ F
8 {4 M# M, l0 @; m域：有限整环一定是域，幂等元
2 O; J5 s0 L/ Y- a: x) `- B( C, n" t d8 x: [' d# R% @. Z
/ g* x2 V( U6 k# g! d2 L
* l, j( a" [, O4 t5 V
七 Additional Topics
2 A' j& j0 e9 e4 Y3 U: `+ H, O C' A' D
1.集合论
& c, |2 y( N4 s: F9 c
8 B- O: v1 V3 p" i, L( U! P. j7 x 基本概念，有几个说法注意一下：对称差（△），venn diagrams就是图示集合之间的关系。
& P1 }* F, P, F2 I 基数
* p0 j# h" c" X8 _- @
: R x" K# p9 b7 R: g2.组合* t( w3 O$ P2 T- k
+ F8 F3 Z V! T1 G; J
乘法原则，排列组合，允许重复的排列组合，Pigeonhole Principle抽屉原理
1 K4 V# j2 g$ @) G, F9 j9 F( R0 l
' Q. q( ~. }7 T: j$ t+ E0 g3.概率统计
3 U% P* P* H9 o! {9 H/ s5 Q4 a3 o5 X( W4 w
等可能（古典）概型；概率空间：样本空间，事件；Bernoulli试验：成功概率为p的n
; T A1 b [! M0 X; ~9 _次Bernoulli试验最有可能的成功次数是[p(n+1)]；随机变量：分布函数，连续随机变/ Y, ]" `: u& r1 K
量，密度函数；期望（E,μ），方差（V，σ^2），标准差（σ）；正态分布：转化为标准正0 \: _7 j% l Q4 Y$ P9 p, H
态分布；二项式分布：用正态分布去近似。' ?( o3 E' i$ z/ Y+ c; E9 w' D
% x( e" l8 N5 q4 V& Y4.点集拓扑
5 V# W9 n( a d+ p, Q: ^
0 h* L( U1 j4 P" \5 t 基本概念：拓扑，开集，闭集，领域，拓扑空间，Hausdorff（T2），平凡、离散拓
8 K3 \4 ^, i6 k5 O% c3 V$ s& N& t- k; y扑，拓扑的粗细（finer，coarser），R上的拓扑；子空间的拓扑；内部，外部，边界,
$ c8 q! l' K- E" ]0 L7 ]! ~极限点，闭包，导集；拓扑基，乘积拓扑，连通（道路连通），紧致，度量空间（R^n上' w" s/ H! V* H4 a( `9 ^
的欧式度量和方度量诱导相同的拓扑）；连续函数的拓扑定义；开映射和同胚( p, T( c- G+ h/ i
（常用小定理：紧致空间到Hausdorff空间的连续双射是同胚）
- ?' ?9 c: H. H& z! x4 }; I: e) w& b" X" M' G. J1 f
5.实分析
% Y: B: S* x% E. Z! o4 D/ I. s5 u; r: q3 P
实数的完备性：最小上界（lub，supremun），glb＝infimum，最小上界定理，Cauchy
, j% h" k8 R' e$ \+ N0 M1 b, `! D序列，完备性% I& I, _3 L! J' S, ^6 s
5 K; j2 E/ F( J- B/ } Lebesgue测度：定义，实际中遇到的都是可测的，不可测集也存在，书上说构造不可测; k0 { }9 }( d0 U
集不容易，其实也不难，用R模掉Q，每个等价类里取一个元素就行了，不难证明这个集合4 B4 `3 A, U; g& _ {2 Z
不可测9 s! H8 N+ S1 y# T- S# l; C, Y
7 |, J! F1 J$ T/ S
Lebesgue可测函数：定义，特征函数组合成简单函数，非负可测函数可用简单函数递增+ Y, A- n6 c( A5 [. C
逼近，几乎处处收敛的可测函数序列的极限函数可测
8 F* H5 P. W) G+ i/ ~
! C. Y/ R7 P" V3 g Lebesgue可积函数：通过简单函数积分的定义来定义非负可测函数的积分，再用正部负
4 |4 b4 }2 a. x; p: C部的概念定义一般可测函数的积分，Riemann积分与Lebesgue积分的对比，前者是用区间6 t9 G# p, E- s' |. D! t7 H
去分定义域，后者是用区间去分值域然后诱导出对定义域的可测集分解，所以后者更广泛" ^/ r0 [& |/ @6 @ \
! F- }4 c) d3 E0 I6.复变 * S0 X: U& z' j$ R7 ~( K4 Z4 w
+ J/ [3 G4 W8 Q2 q9 }( B. m; o. T
复数域的定义，极坐标形式（注意principle argument是在(-π,π)），指数形式- N) q! A( k" T
（Euler公式，通过Taylor级数获得），n次的复根，复数的对数，复数的幂（这里提到公
6 p6 T+ b* {+ H. o' E" y3 c式e^πi+1=0，号称是数学中最美的公式，联系了最重要的5个实数的公式），三角函数
( p, O1 F1 y7 Y9 J（由Euler公式反推出来），双曲函数，单复变函数的导数（简单的例子，结论是求法和" I+ q* a) t T* ^
real的情形完全一样）6 n7 J1 I/ ~% P2 e }- W
8 k' d' m4 a5 |. T& C
下面讲的都是属于复变的比较有特色的基本内容：3 E5 G( y2 C5 V J2 G' _9 Y
4 W. Q/ k2 x. z( ~( {* v; p: J
Cauchy-Riemann条件是可导的等价条件，他们的一个必要条件是x、y均满足Laplace方9 n* a& f( s) n3 z& c( B4 p3 E1 A
程，即为调和函数
" s' U) ^& x& a ?$ I. b) C * w8 Z& H: T. `/ [# P: k; x
解析函数：要么不可导，可导就无穷阶可导，即解析
% e1 w$ p" n% }! m+ M3 b ) h! F" p, P+ F2 ?/ k
复变线积分：代入路径的参数计算，或者用微积分基本定理，后者表明复变的线积分与6 M& n* N/ E3 X2 @" E( t
路径无关
: Y; f* {1 b. I + b) S. @7 X% R/ s1 _
关于解析函数的定理：Cauchy定理及其逆（Morera定理），Cauchy积分公式，由此可直6 h6 [( C |. I5 e; G7 C% C
接推出Cauchy导数估计，由导数估计又可直接推出Liouville定理，最后还提到最大值原理
: k; t9 I: H! G K
2 Y" e: ^% _% I8 l* o2 i J 单复变函数的Taylor级数，和real的情形完全一样6 T9 \( h( l% |' K2 s0 _6 M$ C
% A* Q! [; V( d: h6 ~ 奇点，n阶pole，本性奇点
0 b4 r a. w( u' i
. y7 u1 q* [- H3 Y Laurent级数：相比于Taylor级数定义在disk上，Laurent级数定义在annuli上，分为解
4 r# ~5 ^8 P0 j0 l2 O析部（与Taylor展式完全一样）和奇异部（主部），Laurent系数的计算公式，但通常不3 o0 L7 @' p5 d1 |. d. z& C$ T% D
用这个公式，而是用Taylor展开去做手术来求，奇异部决定奇点的类别9 N8 L, o0 C& k' T! q/ X, ?0 ^
. K2 _5 G& p3 }, Q! b 留数定理：留数的定义（奇点处展开的Laurent级数的奇异部的一阶项系数），闭曲线
( b& }8 h, T- d, u9 s& i% W积分的计算归结为留数的计算，留数的计算方法
